§1 — El principio de Arquímedes
En un fluido en reposo la presión crece con la profundidad. Sobre un cuerpo sumergido, la cara inferior recibe por tanto más presión que la superior, y la suma de todas esas fuerzas de presión da una resultante vertical hacia arriba: el empuje. No hace falta ningún ingrediente nuevo, solo la distribución hidrostática de presiones.
Presión hidrostática: $$p(z) = p_0 + \rho_f\,g\,z$$
Arquímedes lo resumió en un enunciado que evita tener que integrar presión cara a cara: todo cuerpo total o parcialmente sumergido experimenta una fuerza vertical hacia arriba igual al peso del fluido que desaloja. Lo esencial es que el empuje depende del fluido y del volumen sumergido, no del peso ni del material del cuerpo.
Empuje: $$F_b = \rho_f\,g\,V_{\text{sum}}$$
Si el cuerpo queda completamente sumergido, el volumen desalojado es todo su volumen y el resultado se decide comparando densidades: se hunde si \(\rho_c > \rho_f\), sube si \(\rho_c < \rho_f\) y queda en equilibrio indiferente si son iguales. Si flota, en cambio, solo cuenta la parte sumergida, y la condición de equilibrio fija esa fracción:
Fracción sumergida de un cuerpo que flota: $$\rho_f\,g\,V_{\text{sum}} = \rho_c\,g\,V \quad\Longrightarrow\quad \frac{V_{\text{sum}}}{V} = \frac{\rho_c}{\rho_f}$$
Con varias capas de fluido superpuestas el razonamiento no cambia: cada capa aporta su parte del empuje, con su densidad y con el volumen del cuerpo que queda dentro de ella. Por eso un cuerpo puede quedarse quieto justo en la frontera entre dos fluidos.
Empuje con varias capas: $$F_b = g\sum_i \rho_i\,V_i$$
Cuando el cuerpo no puede moverse libremente aparece una tercera fuerza y el equilibrio se escribe igual. Si cuelga de un dinamómetro, lo que este marca es el peso aparente; si está atado al fondo, la cuerda tira hacia abajo; si se apoya en el fondo, es el fondo el que empuja hacia arriba. En los tres casos una cuerda solo puede tirar, nunca empujar: si el balance pide una tensión negativa, la cuerda simplemente queda floja.
Cuerpo colgado de un dinamómetro: $$T = W - F_b$$
§2 — Laboratorio
Monta el depósito por capas, añade hasta cuatro cuerpos y colócalos a la altura que quieras (con el deslizador o arrastrándolos con el ratón). Al pulsar Soltar, cada cuerpo se mueve hasta su posición de equilibrio y aparece el balance de fuerzas. El depósito se supone lo bastante grande para que el nivel del líquido no cambie al introducir los cuerpos.
De arriba abajo, tal como se ven en el depósito.
Sección vertical del depósito · alturas en metros
- Peso
- Empuje
- Tensión
- Normal del fondo
§3 — Balance de fuerzas
Estas son las ecuaciones del equilibrio que acabas de ver, cuerpo a cuerpo: primero con símbolos y después con los números de la configuración actual. Es la forma en que se resuelve el problema en un examen.